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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
2.8.
Calcular los límites indicados, para $x$ tendiendo a infinito.
e) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{2}+8 x-3}{3 x^{2}+2}$
e) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{2}+8 x-3}{3 x^{2}+2}$
Respuesta
Miremos bien este límite:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5x^{2}+8x-3}{3x^{2}+2} $
Fijate que cuando $x$ tiende a más infinito, tanto numerador como denominador se están yendo a infinito, por lo tanto tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Pero fijate que tanto el numerador como el denominador son polinomios, por lo tanto podemos seguir las ideas que vimos en la clase de Indeterminaciones infinito sobre infinito. Acordate que cuando los grados de los polinomios son iguales, el límite generalmente tenderá a un número. Y no a cualquier número, sino a los que acompañan a la $x$ de exponente mayor. En este caso, podemos anticipar que el resultado del límite será \( \frac{5}{3} \).
Reportar problema
Si queremos justificarlo de manera más formal, podemos "sacar factor común el que manda". En este caso sacamos factor común \( x^2 \) tanto en el numerador como en el denominador:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}(5+\frac{8}{x}-\frac{3}{x^{2}})}{x^{2}(3+\frac{2}{x^{2}})} $
Cancelamos los \( x^2 \)
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5+\frac{8}{x}-\frac{3}{x^{2}}}{3+\frac{2}{x^{2}}} $
Ahora, al tomar el límite cuando \( x \) tiende a infinito, los términos \( \frac{8}{x} \), \( \frac{3}{x^{2}} \) y \( \frac{2}{x^{2}} \) tienden a 0. Por lo tanto, efectivamente el límite nos dio...
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5x^{2}+8x-3}{3x^{2}+2} = \frac{5}{3} $